In questo secondo studio (al seguente link lo studio precedente) si è proceduto alla ricerca di una possibile origine degli elementi appartenenti a P* considerando l’equazione y = mx + a e facendo assumere ad a, x ed m solo valori relativi a numeri primi. In seguito è stato definito il concetto di cardinalità polinomiale utile per una caratterizzazione dell’insieme dei numeri primi stesso.

INTRODUZIONE

Il Teorema fondamentale dell’aritmetica spiega l’origine dei numeri non primi appartenenti a W in quanto considera un insieme già dato: P*.
Il teorema di Dirichlet afferma che in ogni progressione aritmetica y = mx + a con (a, m) = 1 si trovano infiniti primi. In altri termini dati due numeri interi coprimi a e m, esistono infiniti primi della forma mx + a, dove m > 0 (x ∈ N).
Procedendo nella ricerca di un’origine ricorsiva dell’insieme P* ho avuto modo di realizzare un inquadramento sistematico dei numeri primi operato sulla base di una restrizione del dominio del polinomio di primo grado y = mx + a in quanto ho limitato i valori assumibili da m, x ed a al solo insieme dei numeri primi P*.
Il teorema di Dirichlet non dice che esistono infiniti numeri primi consecutivi in progressione aritmetica, quindi il medesimo non garantisce che tutti i numeri primi possano essere scritti secondo il polinomio di primo grado y = mx + a eppure ho avuto modo di evidenziare che, una restrizione dei termini x e a del polinomio P (x, a) = 2x + a (con P (x, a) > 5) al solo campo P*, è in grado di generare numeri primi in successione. Non solo. Per numeri primi maggiori di 7 il numero di coppie x, a risulta maggiore di 2. Il numero dei polinomi relativi a tali coppie definisce quella che ho chiamato cardinalità polinomiale c_p.
Al momento possiamo affermare quanto segue.

ENUNCIATI

Siano dati l’insieme singolare Σ = {1,2} e la formula P (x, a) = 2x + a dove P (x, a) ∈ P*e x, a ∈ Σ.

• Risulta possibile generare l’ insieme di prima specie Π = {3,5} dove Π ⊂ P* e x, a ∈ Σ

• 2 è l’unico elemento appartenente all’insieme P* ∩ Σ;
• CONGETTURA: Dato l’insieme {2} ∪ Π risulta possibile generare ricorsivamente l’insieme di seconda specie S = P*\ {2} ∪ Π in cui ogni elemento risulta caratterizzato da una cardinalità polinomiale c_p ≥ 1 e dove x, a ∈ P*. Quindi si ha P (x,a) = P (p_x, p_a) = 2p_x + p_a.
  Esempi:

• P* = {2} ∪ Π ∪ S e Π ∩ S = ∅
• L’insieme N risulta caratterizzato in accordo alla figura 1.

Figura 1: Caratterizzazione di N in base alla cardinalità polinomiale

• Riguardo alla funzione successore S: N → N di Peano possiamo affermare:

1. applicata all’elemento minore i_m ∈ I risulta così definita:
   
2. applicata all’elemento maggiore i_M∈ I risulta così definita:
   
3. applicata all’elemento minore p_m ∈ P* risulta così definita:
   (unico caso in cui S risulta definita in P* ed a valori in P*);
4. applicata ad un elemento p ∈ P*\{p_m} risulta così definita:
   
5. applicata ad un elemento w ∈ W la funzione S risulta così definita:
   

• Da un punto di vista geometrico P (x, a) = 2x + a corrisponde (figura 2) al piano generatore π_γ.

Figura 2: Piano generatore

Riportiamo in figura 3 l’andamento della cardinalità polinomiale c_p dei primi cento numeri primi.

Figura 3: Cardinalità polinomiale dei primi cento numeri primi

TEOREMA

Teorema 1. (Teorema sui sottoinsiemi cardinali polinomiali di S). In base alla cardinalità polinomiale c_p l’insieme di seconda specie S ⊂ P* risulta composto dall’unione di sottoinsiemi cardinali polinomiali Cn costituiti da elementi aventi tutti lo stesso valore di c_p.
Dimostrazione.
1) il sottoinsieme cardinale polinomiale unario C1 risulta formato dagli elementi aventi c_p = 1, (C1 = {7}, #(C1) = 1);
2) il sottoinsieme cardinale polinomiale binario C2 risulta formato dagli elementi aventi c_p = 2, (C2 = {11, 13, 19, 31}, #(C2) = 4);
3) il sottoinsieme cardinale polinomiale ternario C3 risulta formato dagli elementi aventi c_p = 3, (C3 = {23, 59, 61}, #(C3) = 3);
4) il sottoinsieme cardinale polinomiale quaternario C4 risulta formato dagli elementi aventi c_p = 4, (C4 = {17, 29, 37, 43, 47, 71, 73, 83}, #(C4) = 8).
...

In figura 4 è riportato il grafico a dispersione relativo alla c_p dei primi cento numeri primi.

Figura 4: Grafico a dispersione relativo alla cardinalità polinomiale dei primi cento numeri primi

Attraverso il metodo dei minimi quadrati si è cercata la funzione che meglio approssimasse i dati.
Per quanto riguarda la retta y = bx + a sono stati trovati i seguenti coefficienti (figura 5):

Figura 5: Retta y = bx + a

Nel caso della parabola y = ax² + bx + c risolvendo il seguente sistema:

sono stati trovati i seguenti coefficienti: a = -1 * 10^-5, b = 0,0294, c = 2,4608, r = 0,9235

Figura 6: Parabola y = ax² + bx + c

Come si può notare dal quadrato del coefficiente di correlazione di Pearson R (R² = 0,8528) la parabola y = -1*10^-5x + 0,0294x + 2,4608 approssima (figura 6) meglio i dati relativi alla c_p.
Un ulteriore studio potrebbe consistere nell’individuare altri polinomi in cui la restrizione delle variabili al solo insieme P* genera numeri primi ed individuare tutte le relative cardinalità polinomiali.

Ti potrebbe interessare anche:

La sezione aurea affascina tutti

Matlab e il calcolo parallelo

Mentor Graphics Catapult C

Articoli Correlati

Un approccio geometrico alla teoria dei numeri

Studio inerente particolari sottoinsiemi di N e relativi teoremi

Studio sull’origine dei numeri primi: un approccio matriciale