Cos'è la circonferenza, la definizione di cerchio circonferenza, e dei suoi componenti: raggio, diametro, secante, tangente, archi, corda e semicirconferenze. Le formule e le equazioni che ne derivano. Analisi della circonferenza nel piano cartesiano, nel piano complesso e nello spazio. Casi particolare di circonferenza.
Possiamo definire la circonferenza in geometria come una linea curva tracciata su di un piano in maniera equidistante da un punto fisso. Tale punto si chiama centro della circonferenza, mentre si definisce raggio la distanza di questa linea dal centro stesso.
Spesso si confonde il termine circonferenza con quello di cerchio ma è bene ricordare che se si parla di cerchio si intende la superficie del piano contenuta in una circonferenza, insieme alla circonferenza stessa.
I componenti della circonferenza:
Tutte le circonferenze sono simili e di conseguenza la circonferenza è proporzionale al raggio: 2πr. Calcolo della circonferenza
Secante: è una retta che incontra una circonferenza in due punti.
Tangente: è una retta che tocca la circonferenza in un solo punto, chiamato punto di tangenza. Ricordiamo che il raggio che congiunge il centro della circonferenza con il punto di tangenza è sempre perpendicolare alla tangente.
Archi e Semicirconferenze: Presi due punti sulla circonferenza, questi dividono la circonferenza stessa in due archi, quando i due archi sono della stessa lunghezza si chiamano semicirconferenze.
Corda: è il segmento che congiunge due punti sulla circonferenza.
Diametro: è la corda di lunghezza massima, ovvero quella che passa per il centro ed equivale in maniera evidente al doppio del raggio.
Asse radicale: l'asse radicale di due o più circonferenze è definito come la retta passante per gli eventuali punti in comune (punti base), intersecando le due equazioni. La retta che passa per i centri delle circonferenze è perpendicolare all'asse radicale.
Vediamo insieme quali sono le principali formule legate alla circonferenza, come calcolarne la lunghezza e le altre variabili.
Per calcolare la lunghezza di una circonferenza ci basterà moltiplicare il doppio del raggio per pigreco ovvero:
Crf= 2r x π
La formula si può semplificare in questo modo:
Crf= d x π (dove d sta per diametro, ovvero due volte il raggio)
Ovviamente π sta per pi greco (π = 3,14159265...)
Circonferenza nel piano cartesiano.
Secondo le regole della geometria analitica, detta anche geometria cartesiana, una circonferenza in un piano può essere descritta utilizzando le coordinate x e y. Da qui si sviluppa l'equazione cartesiana della circonferenza che possiamo esprimere nel seguente modo:
(x - a)^2 + (y - ß)^2 = r^2
Dove in un sistema di assi cartesiani Oxy, la circonferenza ha centro (a,ß) e raggio r.
L'equazione sopracitata può essere scritta anche nella sua forma canonica:
x^2 + y^2 + ax + by + c = 0
Se il centro della circonferenza è l'origine (0,0), l'equazione diventa:
x^2 + y^2 = r^2.
La circonferenza con centro nell'origine e raggio unitario è chiamata circonferenza goniometrica.
L'equazione di un cerchio invece è data da:
x^2 + y^2 <_ r^2
Circonferenza nel piano complesso
Nel piano complesso una circonferenza di centro l'origine e raggio R può essere espressa dall'equazione parametrica:
z(t) = Re^it
Circonferenza nello spazio
Una circonferenza nello spazio può essere identificata come l'intersezione di una sfera S con un piano p.
Possiamo calcolare il raggio di una circonferenza utilizzando il teorema di Pitagora.
Casi particolari:
considerando l'equazione della circonferenza: x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 possiamo definire tre casi particolari attribuendo il valore zero rispettivamente a: c, b, a.
(C=0) Circonferenza passante per l'origine degli assi
L'equazione della circonferenza sarà:
x^2 + y^2 + ax + by = 0
Si può allora osservare che l'equazione è verificata dalla coppia (0,0) ne segue che il punto O=(0;0) sta sulla circonferenza, quindi che la circonferenza passa per l'origine degli assi.
(b=0) Circonferenza con centro sull'asse delle x.
L'equazione della circonferenza diventa:
x^2 + y^2 + ax + c = 0
In questo caso avremo il centro C=(-a/2;0) sull'asse delle x.
(a=0) Circonferenza con centro sull'asse delle y.
L'equazione della circonferenza diventa:
x^2 + y^2 + by + c = 0
In questo caso avremo il centro C=(0: -b/2) sull'asse delle y.
Altro articolo matematico sicuramente interessante, perchè in elettronica teorica il concetto di circonferenza, soprattutto nella sua rappresentazione fasoriale (sul piano complesso) torna davvero molto spesso.
In regime sinusoidale o nelle analisi dette di prima armonica, conviene spesso passare ad una rappresentazione fasoriale delle varie grandezze perchè se sono valide le ipotesi di linearità del sistema sotto analisi, combinare la grandezza d’ingresso con la funzione di trasferimento del sistema per ottenere la grandezza di uscita equivale semplicemente a fare dei prodotti / rapporti tra i moduli e somme / differenze tra le fasi. Una grandezza sinusoidale viene dunque vista come un vettore che ruota sul piano complesso di Gauss con una velocità pari alla pulsazione omega e che traccia una circonferenza il cui raggio è pari al modulo del vettore stesso. La rappresentazione sul piano di Gauss della grandezze sinusoidali permette inoltre di potere combinare più vettori attraverso le formule trigonometriche (definite a partire dal concetto di circonferenza) o attraverso le regole geometriche di somma e sottrazione di vettori (regola del parallelogramma).
Nell’ambito dei sistemi di controllo, se passiamo dal tempo continuo al tempo discreto (grandezze campionate con una certa frequenza di campionamento), si utilizza come metodo matematico di analisi la Trasformata Z, la quale, come avviene anche per la trasformata di Laplace in tempo continuo, definisce un piano di convergenza all’interno del quale si può dire di avere stabilità asintotica del sistema. Tale regione di convergenza è ancora una cerchio unitario che definisce dove possono o meno ricadere i poli della funzione di trasferimento del sistema.
Soprattutto nell’ambito delle telecomunicazioni, quando si progettano linee di trasmissione, antenne e reti di adattamento, molto spesso si fa ricorso ad uno strumento di sintesi (ma anche di analisi) che va sotto il nome di “Carta di Smith” (http://it.wikipedia.org/wiki/Carta_di_Smith). Questa rappresenta l’andamento del coefficiente di riflessione (in modulo e in fase) in funzione dell’impedenza normalizzata di carico ( o di sorgente dato che la carta può essere percorsa o verso il carico o verso la sorgente) definita sul piano complesso, quindi con parte immaginaria e parte reale. Il centro della carta di Smith rappresenta il punto ad impedenza normalizzata puramente reale (una resistenza) ed è il traguardo che ci si prefigge di raggiungere quando si progetta una rete di matching. Come ho detto prima, la carta di Smith non è solo uno strumento di sintesi ma anche di analisi, infatti a partire dalla conoscenza delle condizioni di carico, si può risalire facilmente al coefficiente di riflessione e da questo al ROS (Rapporto d’Onda Stazionaria), oppure viceversa, conoscendo il coefficiente di riflessione è facile ottenere l’impedenza di carico o di sorgente. Siccome anche un’antenna può essere vista come un carico risonante la cui impedenza è in parte reale e in parte immaginaria, nel suo dimensionamento viene adottata ancora una volta la carta di Smith.
Per i geometri e gli ingegneri civili che dovessero passare da qui e leggere il commento, cito anche il Cerchio di Mohr che è una rappresentazione grafica dello stato piano di tensione interna (misura delle forze di contatto esercitate tra le pareti interne di un corpo tridimensionale attraverso la relativa superficie di separazione (cit. Wikipedia)) in un punto. Il cerchio di Mohr lo conosco ma solo per fama, i dettagli di come si utilizza li lascio a chi vorrà leggere la relativa pagina di Wikipedia (http://it.wikipedia.org/wiki/Cerchio_di_Mohr).