Le geometrie non Euclidee nascono dalla messa in dicussione dei postulati scritti dal genio greco. Si tratta quindi di costruzioni scientifiche che presero vita negando quanto detto da Euclide o meglio prendendo per assoldato il fatto che il V postulato non fosse dimostrabile. Le geometrie non Euclidee vengono anche chiamate col nome di Metageometria, esempi di queste sono la geometria Ellittica e quella Iperbolica.

Le geometrie non Euclidee sono quelle geometrie sviluppatesi partendo dal presupposto che il V postulato di Euclide non fosse dimostrabile, oltre a non essere evidente come i quattro precedenti.

Cenni storici su Euclide:

Ma procediamo per gradi, Euclide fu un matematico della Grecia antica, egli visse nel periodo che va da 367 a.C. - 283 a.C. presumibilmente durante il regno di Tolomeo I. Tuttavia non si hanno certezze sul periodo storico in cui collocare il genio matematico. Egli viene ricordato sopratutto per la sua opera intitolata gli "Elementi" e suddivisa in 13 libri, nella quale Euclide tratta la geometria piana, i rapporti tra le grandezze e la geometria solida. Il testo "Elementi"può essere considerato come uno dei libri di maggior successo nella storia, al pari solo di altri grandi opere. Lo scritto di Euclide per oltre 2000 anni è stato considerato come esempio per la sua chiarezza e per le argomentazioni esposte, sia a titolo informativo che didattico.

Il V postulato:

Secondo Euclide i primi quattro postulati presenti nella sua opera risultano evidenti, tant'é che basta un compasso ed una riga per dimostrarne la veridicità. Il quinto invece è stato oggetto di discussione per numerosi anni e generazioni di illustri matematici di ogni epoca non sono riusciti a darne una dimostrazione. Lo stesso Euclide incontrò numerose difficoltà in merito a questo postulato, tanto da ridurre al minimo il suo utilizzo e menzionarlo il meno possibile nei suoi lavori futuri. Ecco cosa recita il suddetto postulato:

"Se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di quella di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei due angoli è minore di due angoli retti."

Esso è stato nel corso della storia riformulato e semplificato più volte, senza mai riuscire a darne dimostrazione, ecco alcuni esempi:

"Date due rette parallele tagliate da una trasversale, la somma dei due angoli coniugati interni è pari ad un angolo piatto."

Oppure in chiave più moderna:

"Data una qualsiasi retta r ed un punto P non appartenente ad essa, è possibile tracciare per P una ed una sola retta parallela alla retta r data."

Proprio a causa dell'impossibilità di spiegare quanto affermato da Euclide nel XIX secolo si iniziarono a sviluppare nuove geometrie che non tenessero conto del quinto postulato. Da qui nascono appunto le geometrie non Euclidee ovvero la geometria Ellittica e quella Iperbolica.

La geometria Ellittica o di Riemann è frutto del lavoro del matematico e fisico tedesco Bernhard Riemann, mentre quella iperbolica, anche chiamata geometria della sella o geometria di Lobachevsky nasce nel XVIII con un italiano, Giovanni Girolamo Saccheri nel secolo XVIII, ed il suo studio prosegue passando da Lambert, Legendre, Gauss, Schweikart, Taurinus, Lobacevskij, Bolyaiun fino ai giorni nostri.

Saccheri era un docente di matematica presso l'università di Pavia e fu colui che tra tutti si avvicinò di più alla dimostrazione del quinto postulato, negando il postulato stesso e cercando di giungere paradossalmente alla sua dimostrazione. Come detto in precedenza giunse invece alla formulazione di una nuova geometria non Euclidea.

Come sempre se volte approfondire la vostra conoscenza in merito a quanto detto sopra vi consiglio alcuni testi: "Euclide, Tutte le Opere" di Fabio Acerbi e "La geometria non-euclidea" di Roberto Bonola.